Durante a graduação, Bruna descobriu na Matemática um mundo à parte. “Queria fazer parte de algum outro mundo onde eu era boa e certas coisas não importavam.” Para ela, a Matemática também é uma forma de expressão. “Quem, de alguma maneira, é oprimido estruturalmente tem uma grande necessidade de se expressar em diversos aspectos da vida.” Bruna está concluindo o mestrado e observa: “Às vezes, passa-se uma imagem de que a Matemática está acima de tudo, como se fosse algo muito puro e muito nobre, e surge um distanciamento formal entre ela e as pessoas. Eu gostaria de mudar o modo como as pessoas veem a Matemática e acham que ela deve ser passada para os outros”. Mas Bruna não é só Matemática: “Eu ajudo a organizar um sarau na Zona Sul, faço mil outras coisas. A Matemática é um pedaço que eu gosto muito da minha vida, mas é só um pedaço.”

A Matemática pode ser vista como um mundo idealizado que não existe de fato, mas que constitui um instrumento que utilizamos para descrever o mundo real. Isto se aplica particularmente à Geometria, que é objeto de estudo há milênios — num primeiro momento, para obter informações úteis a respeito de, por exemplo, medidas de terrenos e posições de estrelas; e, posteriormente, pelo interesse que surgiu naturalmente sobre as formas que nelas se apresentam, por conta das propriedades que eram descobertas sobre elas.

Um elemento fundamental para o desenvolvimento da geometria é o ponto. Mas o que é um ponto? O matemático grego Euclides introduziu o conceito de ponto como sendo “o que não tem parte”. Essa é a primeira ideia que nos vem à mente quando pensamos em pontos no espaço: um ponto é algo que não possui dimensão. Um ponto não possui nenhuma característica própria a não ser sua posição no espaço.

A noção de ponto é um exemplo do que se chama, em Matemática, de conceito primitivo: noções que não são definidas, mas que se assumem conhecidas e são usadas para definir outras noções e expressar propriedades entre elas. Na Geometria, por exemplo, o essencial não é o que exatamente vêm a ser pontos e retas como objetos, mas sim as relações existentes entre essas entidades. Em outras palavras: pontos podem ser qualquer coisa; o que realmente importa é como eles se comportam com relação às outras noções de que estamos tratando, ou seja, qual a estrutura que estamos descrevendo quando falamos de Geometria.

Como exemplo, pense no espaço tridimensional usual. Se chamarmos as retas do espaço que passam pela origem de “pontos”, e chamarmos os planos do espaço que contêm a origem de “retas”, teremos uma relação de incidência naturalmente definida pela seguinte condição: uma “reta” passa por um “ponto” quando o plano do espaço que define a “reta” contém a reta do espaço que define o “ponto”.

As “retas” verde e a amarela passam ambas pelo “ponto” em azul.

Essa construção define o chamado plano projetivo real, que dá origem a uma geometria muito interessante. Por exemplo, perceba que, no plano projetivo real, não existem “retas” paralelas: quaisquer duas “retas” distintas se encontram em exatamente um ponto. E os objetos que chamamos de “pontos” na verdade são retas do espaço tridimensional!